题目

考虑递推关系式$f(n)=a1*f(n-1)+a2*f(n-2)+....+ad*f(n-d)$,计算f(n)%m

【输入格式】 输入包含多组测试数据。每组数据第一行为三个整数d,n,m(1<=d<=15,1<=n<=2^31-1,1<=m<=46340)。第二行包含d个非负整数a1,a2.....ad。第三行为d个非负整数f(1),f(2).....f(d)。这些数字均不超过2^31-1。输入结束的标志是d=n=m=0.

【输出格式】 对于每组数据,输出f(n)%m

思路

前置知识是矩阵乘法和矩阵快速幂。

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的栏数(column)和第二个矩阵的列数(row)相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时,指的便是一般矩阵乘积。若A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,则他们的乘积AB会是一个m×p矩阵。

公式

而矩阵快速幂对于n*n的方针多次进行自己乘自己的迭代运算,同样可以用数的快速幂优化。

举例来说,对于本题而言

设$F[n]=(f[n-d+1],f[n-d+2],f[n-d+3]....f[n])$

接下来要构造矩阵A,使得$F[n]=F[n-1]*A$

简单笔算一下可知:

这样代码也不难写出了,注意:矩阵相乘不满足交换律!!!!

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define M 25
#define LL long long
using namespace std;
int d,x,mod;
struct Matrix{
    int n,m,a[M][M];
    void clear(){memset(a,0,sizeof(a));}
    void resize(int _n,int _m){n=_n;m=_m;}
    Matrix operator *(const Matrix &_)const{
        Matrix res;res.resize(n,_.m);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=_.m;j++){
                res.a[i][j]=0;
                for(int k=1;k<=m;k++){
                    res.a[i][j]+=1LL*a[i][k]*_.a[k][j]%mod;
                    if(res.a[i][j]>=mod)res.a[i][j]-=mod;    
                }
            }
        }
        return res;
    }
}Ma,F_d;
Matrix qkpow(Matrix a,int b){
    Matrix res;res.clear();res.resize(a.n,a.n);
    for(int i=1;i<=a.n;i++)res.a[i][i]=1;
    while(b){if(b&1)res=res*a;a=a*a;b>>=1;}
    return res;
}
int A[M],f[M];
int main(){
    while(scanf("%d%d%d",&d,&x,&mod)&&(d!=0&&x!=0&&mod!=0)){
        for(int i=1;i<=d;i++)scanf("%d",&A[i]),A[i]%=mod;
        for(int i=1;i<=d;i++)scanf("%d",&f[i]),f[i]%=mod;
        if(x<=d){printf("%d\n",f[x]);continue;}
        Ma.clear();Ma.resize(d,d);
        for(int i=2;i<=d;i++)Ma.a[i-1][i]=1;
        for(int i=1;i<=d;i++)Ma.a[d][i]=A[d-i+1];
        F_d.clear();F_d.resize(d,1);
        for(int i=1;i<=d;i++)F_d.a[i][1]=f[i];
        Matrix ans=qkpow(Ma,x-d)*F_d;
        printf("%d\n",ans.a[d][1]);
    }
    return 0;
}